酒に酔ってトロンとした目付きになり、辺りの物がはっきり見えないさまを表す四字熟語です。

【酔（醉）】は、「酉（酒樽の象形）＋卆（卒）」からできた形声文字です。意味は「酒に、よう。」です。
酔の部首は「酉」です。お酒に関係する字が集められています。
余談ですが「酒」の部首は「氵」ではなく、「酉」です。
【眼】は、「目＋艮」の形声文字です。
【酔眼】は、酒に酔った時の目つきです。陸游の詩の一節に

酔眼　本（もと）を軽んず、千古の事、釣竿（チョウカン）新たに賜う一灘（イチダ）の秋。

があります。

【朦】は、「月＋蒙」の形声文字です。意味は「おぼろ」です。
【朧】は、「月＋龍」の形声文字です。意味はこちらも「おぼろ」です。
【朦朧】は、ぼんやりした様子、物事のハッキリしないさまをいいます。

夏目漱石の作った「無題」という七言律詩の漢詩の3句目、4句目の対句のところに
【朦朧】が使われています。この詩は対句の妙に特徴ありと讃えられています。

的皪（テキレキ：ハッキリし）たる梅花　濃淡の外
朦朧（モウロウ：ボンヤリし）たる月色　有無の中

「的皪（テキレキ）」という畳韻の擬態語に、【朦朧（モウロウ）】という畳韻の擬態語、
「濃淡」に対して「有無」、
「外」に対して「中」と言うように対句の妙が見事に取り入れられています。

【酔眼朦朧】の四字熟語は、蘇軾（ソショク）の『杜介（トカイ）魚を送る』　という七言律詩の7句目に
出てきます。原文と読み下し文を掲げます。

『杜介送魚』　　　　　　　　『杜介魚を送る』　　　　　　　　蘇軾
　　1）新年已賜黃封酒。　　　新年已に賜う黃封酒（コウフウシュ：宮中醸造の酒。）
　　2）舊友仍分赬尾魚。　　　旧友仍（な）を分つ赬尾（テイビ：尾の赤い）の魚　　　　
　　3）陋巷關門負朝日。　　　陋巷（ロウコウ：狭く汚い町）関門（カンモン：門を閉ざす）　朝日を負い
　　4）小園除雪得春蔬。　　　小園除雪して春蔬（シュンソ）を得る　　　　
　　5）病妻起斫銀絲鱠。　　　病妻起って斫（き）る銀糸鱠（ギンシカイ：細く切ったなます）　　　　　　
　　6）稚子讙尋尺素書。　　　稚子讙（よろこ）び尋ねる尺素（セキソ：手紙）書
　　7）醉眼朦朧覓歸路。　　　【酔眼朦朧】　帰路を覓（もと）む
　　8）松江煙雨晚疏疏。　　　松江の煙雨　晩に疎疎（ソソ：まばら）たり